\documentstyle[german,logik,jochen12,12pt]{article}
\pagestyle{headings}
\begin{document}
\frenchspacing
\thispagestyle{empty}

\noindent Lothar Ridder\\[0,5cm]
\begin{center} EINE VOLLST\"ANDIGE MENGENTHEORETISCHE CHARAKTERISIERUNG\\ 
DER ELEMENTAREN ONTOLOGIE\\[1cm]
1. EINLEITUNG\end{center}
\noindent Mit dem Begriff {\em Ontologie} (O) sei im folgenden dasjenige 
System gemeint, das Stanislav Le\'{s}niewski als eine allgemeinste Theorie 
des Gegenstandes im aristotelischen Sinne einer ersten Philosophie 
entwickelte. Diese Logik, die Le\'{s}niewski auch als eine modernisierte 
traditionelle Logik beschrieb, die am ehesten Schr\"oders Klassenkalk\"ul 
einschlie\sslich seiner Theorie der Individuen gleiche, enth\"alt nur zwei 
grundlegende syntaktische Kategorien, n\"amlich propositionale Ausdr\"ucke, 
i.e. Aussagen und Aussageformen, und gegenst\"andliche Ausdr\"ucke, i.e. 
Gegenstandskonstanten (Namen) und -variablen. Bezeichnender Weise sind 
diese Kategorien f\"ur Le\'{s}niewski {\em semantische}, auch wenn er in 
seinen Ver\"offentlichungen keine Interpretation von O angibt. Seine Rede 
von semantischen statt von syntaktischen Kategorien deutet auf seinen 
Anspruch hin, da\ss bei jeder deduktiven Theorie eine intuitiv g\"ultige 
Interpretation mitzudenken sei. Die formale Ausarbeitung einer Semantik 
von O wird nun jedoch durch den Umstand erschwert, da\ss die 
gegenst\"andlichen Ausdr\"ucke von O so gedeutet werden k\"onnen, da\ss sie 
keinen, genau einen oder mehrere Gegenst\"ande bezeichnen, die \"ublichen 
pr\"adikatenlogischen Axiome und Schlu\ssregeln formal jedoch dieselben 
bleiben. Dies hat zur Folge, da\ss die Quantoren von O auch solche Variablen 
enthalten, die kein existentielles Gewicht mit sich f\"uhren. Weiterhin 
kompliziert sich eine metatheoretische Handhabung von O durch die 
M\"oglichkeit kreativer Definitionen. Diese f\"uhren zu sonst nicht 
beweisbaren Aussagen, die weder das definierte Symbol noch mit seiner 
Hilfe definierte Zeichen enthalten.\\
Im folgenden soll zun\"achst in einer g\"angigen pr\"adikatenlogischen Notiation 
eine syntaktische Darstellung eines Fragments von O gegeben werden, der 
sogenannten {\em Elementaren Ontologie} (EO). Das dabei angegebene System 
von Axiomenschemata und Ableitungsregeln zeichnet sich dadurch aus, da\ss es 
nur eine primitive zweistellige Pr\"adikatkonstante mit 
Gegenstandsausdr\"ucken als Argumenten enth\"alt und die {\em ontologischen} 
Definitionsschemata nicht mehr kreativ sind. Die zu diesem {\em 
ontologischen} Fragment konstruierte Semantik ist im Tarskischen Sinne 
referentiell mit der Potenzmenge einer m\"oglicherweise leeren 
Gegenstandsmenge als Quantifikationsbereich. Die leere Menge, singul\"are 
Mengen und Mengen mit mehreren Elementen werden unter dieser 
Interpretation von leeren, singul\"aren und pluralen Gegenstandsausdr\"ucken 
denotiert. Der Vollst\"andigkeitsbeweis erfolgt gem\"a\ss der Henkin-Methode und 
wird im wesentlichen Schritt durchgef\"uhrt.\\[1cm]
\begin{center} 2. SYNTAX\end{center}
Die {\em formale Sprache} L enthalte die folgenden {\em Grundzeichen}:
\begin{flushleft} a) abz\"ahlbar unendlich viele Gegenstandsvariablen\\
b) die logischen Konstanten $\sim$, \&, $\vee$, $\rightarrow$ und 
$\leftrightarrow$\\
c) die Quantorensymbole $\forall$ und $\exists$\\
d) Klammersymbole ( und )\\
e) die primitive zweistellige Pr\"adikatenkonstante $\epsilon$ (Epsilon)\\
f) die definierte zweistellige Pr\"adikatkonstante = als Zeichen f\"ur die 
Identit\"at\end{flushleft}
{\em Formeln von} L seien in der folgenden Weise definiert:
\begin{flushleft} a) Seien x und y Gegenstandsvariablen von L, dann ist 
$x\,\epsilon\,y$ eine (atomare) Formel.\\
b) Seien A und B Formeln von L und sei x eine Gegenstandsvariable, dann 
sind $\sim A$, $(A \& B)$, $(A \vee B)$, $(A \rightarrow B)$, $(A 
\leftrightarrow B)$, $\forall xA$ und $\exists xA$ (komplexe) Formeln von 
L.\\
c) Nur Formeln gem\"a\ss a) und b) sind Formeln von L.\end{flushleft}
Stehe A(y/x) f\"ur eine {\em zul\"assige Substitution} der freien Variablen x 
in A durch eine Variable y, d.h. sei y nach dieser Einsetzung f\"ur x in A 
frei. Die Theoremmenge von EO werde dann durch die folgenden 
Axiomenschemata und Ableitungsregeln festgelegt:\\[1cm]
\noindent Logische Axiome\\[0,5cm]
\noindent LA1 Alle Tautologien\\
LA2 $\forall xA \rightarrow A(y/x)$\\
LA3 $\forall x(A \rightarrow B) \rightarrow (A \rightarrow \forall xB)$, x 
nicht frei in A\\
LA4 $\exists xA \leftrightarrow\, \sim \forall x \sim A$\\[1cm]
\noindent Ontologische Axiome\\[0,5cm]
OA1 $\forall x,y(x\,\epsilon\,y\,\leftrightarrow\,\exists 
z(z\,\epsilon\,x)\, 
\&\,\forall r,s((r\,\epsilon\,x\,\&\,s\,\epsilon\,x)\,\rightarrow\,
r\,\epsilon\,s)\,\&\,\forall 
z(z\,\epsilon\,x\,\rightarrow\,z\,\epsilon\,y))$\\
OA2 $\forall y \exists z \forall x (x\,\epsilon\,z\,\leftrightarrow\, 
x\,\epsilon\,x\,\&\,\sim (x\,\epsilon\,y))$\\
OA3 $\forall y,z \exists r \forall x 
(x\,\epsilon\,r\,\leftrightarrow\,x\,\epsilon\,y\,\&\,x\,\epsilon\,z)$\\[1cm]
\noindent Definitionen\\[0,5cm]
\noindent DA1 $\forall x,y(x=y \,\leftrightarrow _{def.}\, 
(x\,\epsilon\,y\,\&\,y\,\epsilon\,x))$\\[1cm]
\noindent Ableitungsregeln\\[0,5cm]
\noindent 1. Modus ponens: Wenn A und (A $\rightarrow$ B), dann B.\\
2.Generalisierung: Wenn A, dann $\forall$xA.\\[0,5cm]
\noindent Die Begriffe {\em Ableitung} und {\em Theorem} seien in der 
\"ublichen Weise definiert.\\[0,5cm]
\noindent Im folgenden seien -ohne Beweis- zum besseren Verst\"andnis der 
Bedeutung des primitiven Epsilons und im Hinblick auf den Induktionsanfang 
im Vollst\"andigkeitsbeweis einige Theoremschemata von EO 
angef\"uhrt:\\[0,5cm]
\noindent OT1 $\forall x,y(x\,\epsilon\,y\,\rightarrow\,x\,\epsilon\,x)$\\
OT2 $\forall 
x,y,z((y\,\epsilon\,z\,\rightarrow\,(x\,\epsilon\,y\,\rightarrow\,y\,\epsilon\,x))$\\
OT3 $\forall x,y,z((x\,\epsilon\,y\,\&\,y\,\epsilon\,z) \rightarrow 
x\,\epsilon\,z)$\\
OT4 $\forall x,y((x=y\,\,\&\,A) \rightarrow A(y/x))$\\[1cm]
\begin{center} 3. SEMANTIK \end{center}
SD1 Eine {\em Interpretation I von EO} sei ein geordnetes Paar $<G,V>$, 
wobei \begin{flushleft} a) G ein m\"oglicherweise leerer Gegenstandsbereich 
sei und\\
b) V eine Variablenbelegung, die jeder Variablen genau ein Element der 
Potenzmenge $\wp (G)$ zuordne, d,h, $V(x)\,\in\,\wp (G)$ f\"ur alle 
Gegenstandsvariablen x aus L. \end{flushleft}
SD2 Sei V eine Variablenbelegung, x eine Variable. \begin{flushleft} Eine 
Variablenbelegung $V'$, die sich von V h\"ochstens in der Belegung der 
Variablen x unterscheidet, hei\sst x-{\em Belegungsvariante von V}. 
\end{flushleft}
SD3 Die {\em Erf\"ullbarkeit} einer Formel A von L bez\"uglich einer 
Interpretation\\
\noindent $I=<G,V>$ von EO (abgek\"urzt: $erf_IA$) wird in folgender 
Weise definiert: \begin{flushleft} a) $erf_I(x\,\epsilon\,y)$ g.d.w. V(x) 
eine Einermenge und Teilmenge von V(y) ist.\\
b) $erf_I( \sim A)$ g.d.w. nicht $erf_IA$.\\
c) $erf_I( A \rightarrow B )$ g.d.w. nicht $erf_IA$ oder $erf_IB$.\\
d) $erf_I( \forall xA)$ g.d.w. $erf_IA$ f\"ur alle $I'=<G,V'>$, wobei $V'$ 
eine beliebige x-Belegungsvariante von V sei. \end{flushleft}
SD4 Eine Formel von L hei\sse {\em logisch wahr} oder {\em allgemeing\"ultig} 
(abgek\"urzt erfA) g.d.w. $erf_IA$ f\"ur alle Interpretationen I von 
EO.\\[0,5cm]
Offensichtlich gilt:\\[0,5cm]
\noindent ST1 $erf_I(x=y)$ g.d.w. V(x) und V(y) identisch und Einermengen 
sind.\\[1cm]
\begin{center} 4. AD\"AQUATHEIT \end{center}
1.Teil: Korrektheit\\[0,5cm]
\noindent Die logische Wahrheit der Axiome gem\"a\ss den Axiomenschemata 
LA1-LA4 und der Nachweis, da\ss die Ableitungsregeln logische Wahrheit 
erhalten, ergibt sich ebenso wie im Pr\"adikatenkalk\"ul 1. Stufe. Die 
logische Wahrheit von OA1 folgt im wesentlichen aus der semantischen 
Festlegung SD3a) und bekannten mengentheoretischen Gesetzen. Zum Beweis 
der logischen Wahrheit der Axiome gem\"a\ss OA2 ist $V'(z) = G - V(y)$, 
derjenigen gem\"a\ss OA3 $V'(r) = V(y) \cap V(z)$ zu w\"ahlen.\\
Mit der logischen Wahrheit der Axiome und der Wahrheitserhaltung der 
Ableitungsregeln von EO ergibt sich in der \"ublichen Weise, da\ss jede in EO 
aus einer Formelmenge ableitbare Formel aus dieser Menge folgt.\\[0,5cm]
\noindent 2.Teil: Vollst\"andigkeit\\[0,5cm]
\noindent Ausgehend von einer konsistenten Formelmenge $S$ werde eine 
maximal-konsistente Formelmenge $S^{\ast}$ in der \"ublichen Weise gebildet. 
Diejenige Interpretation\\
\noindent $I^{\ast} = <G_0,V_0>$, unter der alle Formeln 
aus $S^{\ast}$ wahr sind, w\"ahlen wir in der folgenden Weise: 
\begin{itemize}
\item $G_0$ sei die Menge aller (abz\"ahlbar unendlich vielen) Variablen aus 
L
\item F\"ur alle Variablen x gelte:\\[0,5cm]
$ V_0(x) = \left\{ \begin{tabular}{l}
$1.\, \{ z \},\,falls\, (x\, \epsilon \,x) \in S^{\ast}$ \mbox{und z in einer 
Auflistung aller Variablen}\\$
$\mbox{von L die erste Variable ist mit }$ (z\, \epsilon \,x) \in 
$S^{\ast}$\\
$2.\, \{ y: (y\, \epsilon \,x) \in S^{\ast} \},$ \mbox{falls }$ (x\, \epsilon \,x) 
$\, \not\in S^{\ast}$ 
\end{tabular} \right.$  
\end{itemize}
Der wesentliche Schritt des Induktionsbeweises \"uber den Aufbau der Formeln 
ist der Induktionsanfang f\"ur die atomaren Formeln. Der Beweis f\"ur die 
komplexen Formeln erfolgt analog dem pr\"adikatenlogischen Vorgehen. Wir 
beweisen deshab unter Verwendung bekannter, nicht eigens aufgef\"uhrter und 
benannter Eigenschaften maximal-konsistenter Mengen den folgenden 
Satz:\\[1cm]
\noindent {\bf SATZ}: $erf_{I^{\ast}}(x\, \epsilon \,y)$ g.d.w. $(x\, 
\epsilon \,y) \in S^{\ast}$\\[0,5cm]
Beweis:\\ 
$\Rightarrow$\\
(1) gelte $erf_{I^{\ast}}(x\, \epsilon \,y)$\\
(2) mit (1) und gem\"a\ss SD3a) ist $V_0(x)$ eine Einermenge und Teilmenge von 
$V_0(y)$.\\
(3) Sei gem\"a\ss (2) und o.B.d.A. $V_0(x) = \{ z \}$\\
(4) nach (3) und gem\"a\ss $I^{\ast}$ ist $(x\, \epsilon \,x) \in S^{\ast}$ und 
$(z\, \epsilon \,x) \in S^{\ast}$ \footnote{W\"are $(x\, \epsilon \,x) 
\not\in S^{\ast}$, dann w\"are $(\sim (x\, \epsilon \,x)) \in S^{\ast}$ und 
damit gem\"a\ss OA1 (i) $( \sim \exists z(z\, \epsilon \,x)) \in S^{\ast}$ oder 
(ii) $( \sim \forall r,s,((r\, \epsilon \,x\, \& \,s\, \epsilon \,x) 
\rightarrow r\, \epsilon \,s)) \in S^{\ast}$ oder (iii) $( \sim \forall 
z(z\, \epsilon \,x \rightarrow  z\, \epsilon \,x)) \in S^{\ast}$. Unter 
(i) w\"are $V_0(x)$ leer und unter (ii) eine Menge mit mindestens zwei 
Elementen beides im Widerspruch zu (3). Nach (iii) w\"are $S^{\ast}$ 
inkonsistent.}\\
(5) nach (4) und OT2 ist $(x\, \epsilon \,z) \in S^{\ast}$\\
(6) nach (2) und (3) ist $z \in V_0(y)$, d.h. $(z\, \epsilon \,y) \in 
S^{\ast}$\\
(7) nach(5),(6) und OT3 gilt deshalb $(x\, \epsilon \,y) \in S^{\ast}$\\
$\Leftarrow$\\
(8) Sei $(x\, \epsilon \,y) \in S^{\ast}$\\
(9) nach (8) und OT1 gilt: $(x\, \epsilon \,x) \in S^{\ast}$\\
(10) gem\"a\ss (9),$I^{\ast}$ und o.B.d.A. sei $V_0(x) = \{ z \}$\\
(11) nach (10) und $I^{\ast}$ gilt $(z\, \epsilon \,x) \in S^{\ast}$\\
(12) nach (8),(11) und OT3 ist $(z\, \epsilon \,y) \in S^{\ast}$\\
(13)nach (12) und $I^{\ast}$ ist $z \in V_0(y)$ \footnote{(13) ergibt sich durch 
Fallunterscheidung danach, ob $(y\, \epsilon \,y) \in S^{\ast}$ oder $(y\, 
\epsilon \,y) \not\in S^{\ast}$. Ist $(y\, \epsilon \,y) \not\in S^{\ast}$ 
so folgt (13) unmittelbar gem\"a\ss $I^{\ast}$. Ist $(y\, \epsilon \,y) \in 
S^{\ast}$, so gibt es gem\"a\ss $I^{\ast}$ ein $z'$ mit $(z'\, \epsilon \,y) 
\in S^{\ast}$ und $V_0(y) = \{ z' \}$. Aufgrund dieser Voraussetzungen 
ergibt sich nun mit OT2 und DA1 $(z' = y) \in S^{\ast}$ und entsprechend 
wegen (9),(10) und (11) $(z = x) \in S^{\ast}$. Wegen (8), OT4, $(z'\, 
\epsilon \,y) \in S^{\ast}$, OT2 und DA1 folgt dann $(z = z') \in 
S^{\ast}$ und wegen OT4 auch $(z\, \epsilon \,y) \in S^{\ast}$.Das $z$ ist 
auch die erste Variable in der Auflistung aller Variablen mit $(z\, 
\epsilon \,y) \in S^{\ast}$. Angenommen n\"amlich es g\"abe eine Variable 
$z^{\ast}$ vor $z$ mit $(z^{\ast}\, \epsilon \,y) \in S^{\ast}$, dann w\"are 
wegen $(x = y) \in S^{\ast}$ (wegen $(z = x) \in S^{\ast}$, $(z'= y) \in 
S^{\ast}$ und $(z = z') \in S^{\ast}$) auch $(z^{\ast}\, \epsilon \,x) \in 
S^{\ast}$ im Widerspruch zu (10), da\ss $V_0(x) = \{ z \}$. Insgesamt gilt 
deshalb $V_0(y) = \{ z \}$.}\\
(14) nach (10) und (13) gilt: $V_0(x) \subseteq V_0(y)$\\
(15) mit (10), (14) und SD3a) gilt deshalb: $erf_{I^{\ast}}(x\, \epsilon 
\,y)$\\[1cm]
\begin{center} 5. LITERATUR \end{center} 
\begin{description}
\item[Eberle,R.A.] {\em Nominalistic Systems.} Dordrecht 1979
\item[Iwanus,B.] {\em On Le\'{s}niewski's Elementary Ontology.} Studia Logica 
31, 1972, 73-119
\item[Kielkopf,C.F.] {\em Quantifiers in Ontology.} Studia Logica 36, 1977, 
301-307
\item[Le\'{s}niewski,S.] {\em Grundz\"uge eines neuen Systems der Grundlagen der 
Mathematik} Fundamenta Mathematicae 14, 1929, 1-81      
\item[Le\'{s}niewski,S.] {\em \"Uber die Grundlagen der Ontologie.} Comptes 
Rendus des S\'{e}ances de la Societ\'{e} de Sciences et des Lettres des 
Varsovie, Classe 3, 23, 1930, 111-132
\item[Slupecki,J.] {\em Le\'{s}niewski's Calculus of Names.} Studia Logica 3, 
1955, 7-71
\item[Stachniak,Z.] {\em Introduction to Model Theory for Le\'{s}niewski's 
Ontology.} Acta Universitatis Wratislaviensis (No 586), Prace Filozoficzne 
31, Logika 9, Wroclaw 1981
\end{description}
  
\noindent Dr. Lothar Ridder\\
Universit\"at D\"usseldorf\\
Philosophisches Institut\\
Universit\"atsstra\sse 1\\
D-40225 D\"usseldorf\\
privat:\\
Srunder Feld 4a\\
D-51069 K\"oln


        

























 












\end{document}